徐昇多邊形網的自動化計算

摘　　　要

　　徐昇多邊形網是估計區域平均降雨量所最常用的方法，由於其繪製頗耗費時間及人力，而完成的徐昇多邊形網也因測站故障或異動須重新繪製。本研究利用電腦輔助設計軟體 AutoCAD 發展一個即時分析的計算模式，可迅速重繪徐昇多邊形網，並輸出每一個雨量站依據其控制面積以計算平均降雨的加權因子，有助於一般工程分析及現場估計平均降雨量的即時計算應用。

一、　前　　　言

　　徐昇多邊形法 (Thiessen's Polygon Method) 是估計區域平均降雨量所最常用的方法，但由於徐昇多邊形多以人工繪製，須耗費相當的時間及人力，而完成的徐昇多邊形也因測站移動、增設或裁撤必須重新繪製。尤其在洪水即時預報系統中，若遙測雨量站故障則需重新繪製，否則無法正確估算平均降雨量，影響即時模式預報洪水量之正確性。若欲事前準備包含各種不同可能雨量站組合的徐昇多邊形網加權因子表，以滿足即時預報系統在時效上的要求，有可能因組合數量太多而不實際。

　　故一個能利用計算機快速繪製徐昇多邊形網，並計算出每個雨量站加權因子的即時分析系統，除了有助於平時之規劃分析及設計外，當遙測雨量站故障時，也可迅速分析得到新的徐昇多邊形及雨量站加權因子來估算區域平均降雨量，有助於現場的計算應用。

二、　徐昇多邊形網[1]

　　雨量站在空間的分佈位置並不均勻，徐昇多邊形網以經由決定各雨量站之影響控制面積方式，調整估計區域的平均降雨。一座雨量站在集水區內的影響控制面積對全區面積之比例，是為該測站的加權因子，可用以計算集水區的平均降雨量。此加權因子之計算程序如下：

(1) 將所有 N 個相鄰之雨量站以直線兩兩相連，構成多個三角形。

(2) 建構此諸雨量站連線之垂直平分線，亦即做三角形各邊之垂直平分線，三邊之垂直平分線必交於一點，即三角形之外心。

(3) 連接各三角形之外心，或以諸垂直平分線交會形成 N 個多邊形，即徐昇多邊形網。

(4) 進行平均降雨量之計算時，假設此多邊形內之降雨量即等於該雨量站之降雨量，故每個雨量站所控制的範圍，即為該多邊形之面積 。故將各雨量站實測之雨量記錄 乘以各站之控制面積 ，然後求其總和，再以總集水面積除之，即得集水區之平均雨量。其計算公式可寫為：

式中，

	= 平均降雨量；
	= 雨量站 i 所控制之徐昇多邊形位於集水區內之面積。

(5) 每座雨量站所控制的加權因子，即以該雨量站的徐昇多邊形在集水區內之面積計算：

式中，

	= 加權因子，無因次；
A	= 集水區總面積。

(6) 故集水區平均降雨量亦可以下式計算：

　　以此法計算求出之平均降雨量精確度較佳，亦是最常用的區域平均降雨量計算法，惟其中若有一雨量站變動，整個徐昇多邊形網便須重新繪製為其缺點。

三、　自動化分析法

　　由於電腦輔助設計軟體 AutoCAD 提供理想的點選取環境，地理資料數化也有容易操作的特性，除可直接輸入點座標外，亦可使用數位板或滑鼠做數化工具，並且 AutoCAD 可讀取大部份經過轉換後的圖檔，減少部份集水區資料重新數位化的時間。因此本研究採用此套裝軟體做為自動化模式的操作界面，直接以數位板數化集水區邊界及輸入雨量站位置，減少界面發展時間。

　　在分析程序上，本模式先以 AutoCAD 所提供的 AutoLISP 語言[2]將雨量站位置及集水區邊界等資料判讀後存檔，再透過外部程式進行計算分析，除將處理後得到的三角網、徐昇多邊形網及雨量站控制面積加權因子存檔備用外，更將三角網及徐昇多邊形網併入原 AutoCAD 相關圖層以供參考或繪圖。由上所述，整個分析分成兩大部份如下：

(一)、集水區地理資料數化

　　鑑於地理資訊系統日漸普及，欲分析之集水區可能已有數化完成的圖檔，可由有關的地理資訊系統資料庫將圖檔轉換成 AutoCAD 可讀取之格式，故在本自動化模式中，將數化部份與計算程序分開，日後系統更新時，祇須更新系統與計算程序的界面，或僅須對不同系統撰寫資料轉換界面，即可進行分析。

　　為求系統之完整性，及輸入分析上必要之資料即可，本研究仍以 AutoLISP 語言撰寫一個應用 AutoCAD 進行數化的程式 TP.LSP 進行此項數化工作，關於此程式之計算流程請參見附錄。

1. 數化雨量站位置

　　利用 AutoCAD 提供之指令 Point，或以之發展的操作界面，來執行此數化工作。因雨量站之屬性為 Point，在日後分析雨量站資料時，以 AutoCAD 能區分屬性之功能，可透過 Point 屬性自動判別圖元是否為雨量站。

2. 數化集水區邊界

　　利用 AutoCAD 提供之指令 PLine，或以之發展的操作界面，來執行此數化工作，因此集水區邊界之屬性為 Polyline。在往後分析集水區邊界的資料時，可用 AutoCAD 區分屬性之功能，以 Polyline 屬性作判別該圖元是否為集水區邊界之依據。此外，因集水區邊界應為閉合之多邊形，故使用 PLine 指令數化集水區邊界時，須用 Close 指令結束數化程序。另外在判別集水區邊界圖元時，增加一自動判別邊界多邊形是否閉合之檢核能力。

　　集水區邊界及雨量站位置經數化處理後，在往後的使用分析非常方便，如需算其它組合的徐昇多邊形網時，祇須將已數化完畢之圖檔讀入，根據測站之增

減情形略加修改圖檔後，即可進行加權因子分析。

(二)、加權因子分析

　　本部份之計算處理是由前述之 TP.LSP 程式，及一個獨立於 AutoCAD 的外部計算程式 THIESSEN.BAS 負責執行，後者以 Quick BASIC 語言[3]撰寫，其流程亦請參見附錄。本部份的分析程序如下：

1. 選取集水區邊界及分析情況所需的雨量站

　　利用 AutoCAD 的選取功能，選取擬納入分析之雨量站。可用 Window 功能圈選出屬性為 Point 的資料，或利用加入、去除的功能將不足或多餘的雨量站加以修正調整後，再選擇集水區邊界資料，以便進一步分析。

2. 建立雨量站三角網

　　三角形的形狀影響徐昇法估算加權因子的正確性及精確度，由不同組的三個雨量站所形成的三角網，以每個三角形都接近正三角形最為理想，但雨量站之分佈位置受地形及故障等情況影響，實難以達此理想。因此本研究中三角網之決定，以採用任三個雨量站所決定的外接圓內不含其它雨量站者構成一個三角形，利用此法可決定出較為理想的三角網。

3. 建立徐昇多邊形

　　三角網決定後，即可同時定出每個三角形之外心位置。將包含同一雨量站且相鄰的兩個三角形之外心兩兩相連，其所圍成之區域即為該雨量站的控制範圍，亦稱為徐昇多邊形，依此所有相鄰三角形外心的連線便構成一個徐昇多邊形網。

4. 求各雨量站的實際控制面積

　　以集水區邊界與徐昇多邊形進行交集分析，即可求得各雨量站的實際影響控制範圍及其面積。多邊形之面積可由向量法計算，利用其 m 個邊之 m 個頂點的座標值 兩兩互乘，再取絕對值後除以 2 即得。

　　對分析所得之雨量站影響控制區域圖，使用者亦可利用 AutoCAD 中計算多邊形面積的功能，直接求取雨量站的控制面積，而不須使用求積儀。

5. 計算各雨量站控制面積之加權因子

　　以各雨量站的控制面積除以集水區總面積即得面積加權因子。

四、　實例分析

　　此處以曾文水庫下游之曾文溪流域地區為例，概述本模式之操作程序：

1. 利用 AutoCAD 及數位板，數化曾文水庫下游地區曾文溪流域之邊界及雨量站位置，見圖一。
2. 於圖一之 AutoCAD 指令區鍵入指令，載入選單式操作介面模式 TP.LSP。
3. 在圖二所示之功能表選單中，選用第 3 項之「自動繪製徐昇多邊形網」。
4. 利用 AutoCAD 之圖元選取功能，選取欲納入分析之雨量站。使用者或可先用 Window 功能選取全圖之圖元，再用 Remove 功能去除額外圈選之圖元。
5. 選取曾文水庫下游曾文溪流域之邊界圖元。
6. 輸入外部程式 THIESSEN.BAS 之執行檔 THIESSEN.EXE 的路徑名稱，及加權因子輸出檔之檔名。完成輸入後，TP.LSP 會自動執行 THIESSEN.EXE，可一次進行三角網、徐昇多邊形網及加權因子之計算分析。

圖一 曾文水庫下游地區曾文溪流域之邊界及雨量站

圖二 TP.LSP 內建之功能表及操作步驟

7. 其次，THIESSEN.EXE 將在執行完畢前，傳回三角網、徐昇多邊形網及經交集分析後之雨量站影響控制面積的邊界等 Polyline 至 AutoCAD，並將之分別存入不同的圖層，可供使用者做進一步的分析或套疊。其中交集邊界預設為不顯示，圖三所示為分析完成之徐昇多邊形網圖、三角網圖、交集邊界及集水區邊界。
8. 加權因子輸出檔之內容列於表一。文中第一欄為雨量站座標，第二欄為該雨量站之徐昇多邊形面積，第三欄為該雨量站之徐昇多邊形與集水區交集重疊地區的面積，第四欄為該雨量站之加權因子，該值由第三欄除以集水區總面積得之，第五欄為該雨量站相對應於圖一之站號。

在最後二列中，Others 列及 Area of Total Basin 列為選擇性輸出項，當各雨量站之徐昇多邊形與集水區交集重疊的面積總和不等於集水區總面積時，該列會自動附加於輸出檔之中，顯示外部程式計算面積之數值誤差，故亦可供做檢核之用。

五、　討　　　論

圖三　計算完成之徐昇多邊形網

表一　雨量站徐昇加權因子

1. 硬體需求

　　硬體需求以能讓 AutoCAD 正常執行為最低要求。AutoCAD 自 R.10 版以後均需浮點輔助運算器。若希望系統運作順暢時，使用 R.10 版需 1 MB 以上的動態記憶容量，使用 R.11 版則需 2 MB 以上的擴展記憶容量 (EMS)，使用 R.12 版更需 4 MB 以上的延伸記憶容量 (XMS)。指向器可採用 AutoCAD 支援的滑鼠或數位板，若採用數位板來數化集水區邊界及雨量站，則在數化前需先以選項 tablet/cal 校正集水區的座標。

2. 僅有二個以下雨量站，不足以構成三角網

　　若僅有二個雨量站，則直接做二站連線之中垂線，將全分析範圍地區分為兩個多邊形即可；若僅有一個雨量站，則直接設定該站之加權因子為 1。

3. 危險圓

　　在計算處理三角網時，若遇上四個以上的雨量站點共圓之「危險圓」情況，兩個以上的三角形有可能會重疊，產生不可預測的結果，但因發生機會很小，故目前並未將危險圓部份列入分析的考慮事項。

4. 分析範圍邊界

　　靠近圖面邊緣的雨量站之徐昇多邊形都無法閉合，因此不能計算其多邊形面積，也無法執行交集分析。為解決此情況，本研究由雨量站位置座標點與集水區邊界之資料點中找出最小及最大的 x 值與 y 值，並向圖面外延伸各軸邊長的 5% 做為分析範圍邊界的頂點，憑以繪一矩形當做分析範圍邊界。再針對各徐昇多邊形逐一檢查其是否閉合，非閉合的徐昇多邊形則由中斷處向外延伸至分析範圍邊界，依逆時針方向繪成一閉合多邊形。

5. 多邊形交集分析

　　各閉合的徐昇多邊形最後須逐一與集水區邊界做交集，以求出雨量站的控制面積。本研究求二個多邊形之交集多邊形的方法，係先以一多邊形為參考圖，再沿另一多邊形之邊界以逆時針方向搜尋，判斷出另一多邊形的邊界點落在參考多邊形內部的所有點來，同時也求出此二多邊形在邊界上的所有交點；反之，將二多邊形對換，可求出原參考多邊形邊界落在對方內部之所有點來。此諸落於對方多邊形內部的邊界點當中，有部份原是屬於連續的邊界點者，便得以與邊界交點形成一連續的多重折線，因此可構成多個小段的多重折線。再以兩塊多邊形在邊界的相交點為端點開始，將上述各小段的多重折線串接成一個或多個交集多邊形。

　　各個小段的多重折線之區分是以整數陣列儲存其索引值，未在交集範圍內之點以 0 作其索引值，在交集範圍內之點若為第 n 段多重折線則以 n 為其索引值。當已在交集分析中使用過的多重折線，便將其索引值乘以 -1，使成負值，如此可避免重複使用及段落不清。

6. 內點判別

　　為便於分析多重折線之圖元，本模式規定程式中之多邊形一律向正方向 (逆時針) 旋轉。因任一位於多邊形內之點，對該多邊形各邊兩兩求夾角後累加，逆時針方向旋轉之總和為 ，順時針旋轉為 ，其絕對值為 ；而任一位於多邊形外之點，其夾角累加之和為 0。利用此方法可同時求得多邊形之旋轉方向及參考點是否位於多邊形內。

7. 座標點解析度

　　MicroStation 對圖面事先區分座標格點，每一圖點先經四捨五入後再繪在適當格點位置，而 AutoCAD 則直接以點座標，配合監視器或圖紙之解析度，將之示於或繪於適當位置。原則上，此種對圖點解析度之處理，並不影響一般工程分析的要求精度，對於本研究所計算之雨量站控制面積加權因子的精確度，通常也不致產生影響，因為很少有兩個距離很近的雨量站，僅有數化得到之集水區邊界點可能會有相距很近的情形，但其所產生的集水區面積計算誤差也很小。

　　此外，在判斷二線段是否重合、相切，或點是否相同時，因受到計算機單精度變數的誤差限制，本模式選用相對誤差做判斷標準，並取 10-5 為容許誤差的門檻值。此一限制在計算區域的座標時有可能會發生精度問題，以二度分帶之宜蘭地區地圖為例，其 x 座標約在 300 公里左右，其 y 座標約在 2,700 公里左右，若直接取用已數化完成的圖檔，將無法分析到公尺之精確度，改善方法可考慮將程式全面採倍精度變數處理，另法則先將該計算區域採用相對座標處理後，再轉成原座標輸出。

六、　結　　　論

　　本研究利用電腦輔助設計軟體 AutoCAD 發展一套徐昇多邊形網的自動化計算模式，兼俱地理資料輸入、繪圖及分析等功能。此模式可在判讀雨量站及集水區邊界的地理資料並存檔後，利用外部程式分析三角網、徐昇多邊形網，計算雨量站加權因子，再將分析求得的三角網、徐昇多邊形網等存檔，及併入 AutoCAD 中的原集水區圖以供參考。此模式具快速的計算分析能力及使用方便之特性，可提高規劃設計之分析效率，也可滿足即時洪水預報系統在時效上之要求。

七、　參考文獻

1. 易任、王如意著，應用水文學，上冊，國立編譯館，1985。

2. 林健毓譯，Microsoft Quick BASIC Bible (中譯本)，松崗電腦圖書公司，1993。

3. 陳文賢編著，剖析 AutoLISP，松崗電腦圖書公司，1992。

八、　附　　　錄

　　計算機程式 TP.LSP 與 THIESSEN.BAS 之程式重點，及其計算流程請參見圖四及圖五。

圖四　TP.LSP 程式之流程圖

圖四　TP.LSP 程式之流程圖 (續)

圖五　THIESSEN.BAS 之流程圖