本文摘於
ccos(Cheng Cosine)                     ccos.bbs@bbs.iie.ncku.edu.tw
yhliu(劉應興)                          yhliu.bbs@bbs.iie.ncku.edu.tw
Devil(璉璉)                            Devil.bbs@bbs.iie.ncku.edu.tw
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發信人: ccos@bar (Cheng Cosine), 信區: fortran
標  題: Help!也是浮點數的問題...

我的問題是:
步驟:1.宣告a為倍精的實數
     2.經過一些計算之後,a有了值,比如說
       a=0.123451234512345d-015
     3.我用write(11,*)把a值寫到一個檔案out1
     4.再次由檔案out1讀入a值,read(10,*) aa
     5.開啟另一個檔案,將a-aa用write(12,*)寫入out2
     6.檢視檔案out2裡面所記載的值不為0!!!

我的猜測:
     因為a真正的值可能是a=0.123451234512345123...d-015
     因而在輸出到out1的時候, fortran當它是a=0.123451234512345d-015
     以致於重新讀入時,aa-a~=0!!!
     我的想法對嗎?是否有辦法證明我的猜測呢?
     更清儲的說,給定一個已知a值,經過步驟1~5之後,能否預先知道在步驟6
     所必然會出現的值呢?

              開始感到頭昏的Cheng Cosine
                          Dec./11/1995
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發信人: yhliu@bar (劉應興), 信區: fortran
標  題: Re: Help!也是浮點數的問題...


Fortran 中, 數值的儲存是二進位的, 輸出轉成十進位,
輸入再把十進位轉成二進位。在有小數的情形, 兩種進位
系統之間的轉換一般都會有誤差。

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發信人: Devil@bar (璉璉), 信區: fortran
標  題: Re: Help!也是浮點數的問題...

在 computer 中無法避免小數點的極小錯誤, 這不算 bug, 是系統限制. 他的
問題不一定發生計算錯誤在何處, 由於發問者並沒有提供不等於 0, 而等於多
少的值, 所以我目前假設計算錯誤發生在下面兩點之一,
若倍精度變數小數點以下16位, 指數為d-15,

1.並沒有將完整的變數內容寫入檔案之中. 則不等於 0的值應大於 1.xxxx d(-15-16+1)
  , 也就是說大於 1. d-30
2.相減錯誤. 則不等於 0的部份應小於 1.xxxx d(-15-16) , 而你指出不對的
  地方就是這, 但是這不是不會發生, 而是不一定發生. 所以劉同學並沒有說
  錯. 尤其常作數值計算的人, 最頭痛的就是系統的限制造成的加減乘除的位
  元誤差.

ps. 由於原發者所提供的資訊不足, 所以回答都是各人的猜測, 很難說是對是
    錯.

補充記載:
倍精度變數為 8 bytes=64 bits
其中保留 1 bit 為正負, 10 bit 為指數, 指數中又保留 1 bit 為指數的正負
剩下的 bit 才為有效位數使用.
其數值內容計算原則為
  sum (i=1, 53) bit(i)*(1/2**i)
上述是原則, 有可能因各家編譯器為求速度的反應而略有不同.
另外, 387 是一次進行 60 bit 的計算, 所以資料傳輸後會有可能發生 1 bit
的誤差.

 (保留給指數 10 bit , 及 387 的 60 bit 中所提及的數值 10 及 60 是記憶
中的數值, 可能有誤, 正確數據需翻一下資料. 但是 6? <> 64, 不然就不會不
確定了)  

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發信人: ccos@bar (Cheng Cosine), 信區: fortran
標  題: Re: Help!也是浮點數的問題...

  program test
  real*8 a, aa
  
  a=.12345123451234512345d-15

  open(21,file='1.out')
  write(21,*) a
  close(21)

  open(20,file='1.out')
  open(22,file='2.out')
  read(20,*) aa
  write(22,*) aa-a
  close(20)
  close(22)

  stop
  end

執行結果:
case I.
1.out : 0.123451234512345d-015
2.out :-0.986076131526265d-031 = -9.86076...d-032
assume  aa = 1.out
then    exact = -0.12345d-030 = -1.2345d-031 Not the same as 2.out !?

case II.
if I change a=.12345123451234554321d-015
then
1.out : 0.123451234512346d-015
2.out : 0.443734259186819d-030 = 4.43734...d-031
assume aa = 1.out
then   exact = 0.45679d-030 = 4.5679d-031 Not the same as 2.out !