徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法之比較

Thiessen Polygon Method Compare with Height Balance Polygon Method

摘要

　　集水區中推估平均降雨有很多方法，研究中比較徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法，過去的研究中認為徐昇多邊形法適用於坡度平緩地區，高度平衡多邊形法適用於地勢崎嶇、山嶺險阻之區域，惟高度平衡多邊形法因計算過程更為繁雜，以致分析不易，其相關研究亦相對減少。

　　研究結果顯示高度平衡多邊形法受集水區邊界高程影響，在集水區邊界上的雨量站有較大的控制範圍，徐昇多邊形法僅考慮二維平面的控制面積則無此影響。高度平衡多邊形法受雨量站網分布位置影響頗大，在運用此法分析流域平均降雨量時應盡量納入所有可分析之雨量站進行分析，以提高平均降雨量計算之精度，當雨量站網成凹形分布的狀況下，應避免以高度平衡多邊形法計算平均雨量。

關鍵字：平均降雨、徐昇多邊形法、高度平衡多邊形法

一、前言

1.1　研究背景

　　在集水區中由點降雨推估全流域之平均降雨有很多方法，一般常用之方法有算數平均法、徐昇多邊形法、高度平衡多邊形法與等雨量線法等，過去的研究中認為徐昇多邊形法 (Thiessen Polygons Method) 與等雨量線法計算結果相近，適用於坡度平緩地區，高度平衡多邊形法 (Height Balance Polygons Method) 考慮集水區地形高程變化，適用於地勢崎嶇、山嶺險阻之區域，惟高度平衡多邊形法因計算過程更為繁雜，以致分析不易，其相關研究亦相對減少。

　　近年來由於地理資訊系統快速發展，高度平衡多邊形法所需之地理基本資料建構漸趨完整，除可利用衛星定位系統快速取得雨量站座標，並可結合中央大學太空遙測中心所提供的數值高程資料 (DTM) 檔取得集水區內各座標的高程資料，以此基本資料可較易進行高度平衡多邊形法分析。

1.2　研究目的

　　一般認為以徐昇多邊形法或高度平衡多邊形法求出之平均降雨量精確度較算術平均法為佳，但由於高度平衡多邊形網因計算過程繁雜，在多數研究中，較少運用本法直接進行集水區面積雨量估算，甚至進而探討在不同雨量站組合下的情形；而徐昇多邊形法計算過程雖然仍然繁雜，但較高度平衡多邊形法分析為易，且多有相關數值分析模式可直接加以運用，分析結果廣受相關專家學者接受。

　　在先前相關研究中自行發展之徐昇多邊形法、高度平衡多邊形法電腦計算模組，可各約在 10 秒內迅速完成任何可能組合之多邊形網的繪製與計算，得到每一個雨量測站的加權因子，藉此比較徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法各雨量站控制範圍的分佈與加權因子，並進而探討以不同方法計算對平均降雨的影響，與對逕流係數的影響。研究中以 Visual Basic 為發展工具，並直接取用中央大學太空遙測中心之數值高程二進位資料檔，在分析上包含雨量站三角網分析、三角網連線上兩雨量站高程中點分析、高程中點三角網分析、徐昇多邊形網、高度平衡多邊形網、交集分析與加權因子計算。

二、文獻回顧

　　國內採用徐昇多邊形法進行相關分析之研究相當多，而探討徐昇多邊形法於電子計算機上之應用分兩大研究方向，一是由計算幾何的基礎下，所發展出的向量分析方法，一是由計算圖學的基礎下，所發展出的網格分析方法；向量分析的優點是其計算結果為解析解，缺點為計算過程繁雜，不易撰寫分析模組；網格分析的優點是計算過程單純，易撰寫分析模組，缺點為計算結果為數值近似解，計算時間隨精度以平方倍增加。

　　向量分析透過三角網與徐昇多邊形網互為正交之定理，以標準作圖法由三角網推得徐昇多邊形網為依據，相關研究有周乃昉、鄭子璉_[1-3]於民國 84 年搭配 AutoCAD 與 AutoLisp 的初步研究，民國 88 年改善並擴展成具有獨立人機介面之分析模組，民國 89 年修正交集方法縮短計算時間，增補內點判別原則，並支援 ArcView 圖檔格式；網格分析以任意點至控制點最短距離之基本假設為依據，相關研究有謝錦志等_[4]於民國 89 年證明網格分析之依據與徐昇多邊形網基本假設吻合，龔誠山等_[5]於民國 89 年配合 ArcView 發展整合性的數值模式，另 ArcView 擴展套件 Spatial Analyst 中徐昇多邊形法 (Proximity) 的相關分析上亦是採用網格分析，唯其分析因透過內建之直譯器進行，以致執行效能不佳。

　　國內相關著作中，最早敘述說明到高度平衡多邊形法的文獻可能為徐世大等_[6]於民國 59 年 6 月所出版之「實用水文學」乙書，較為農田水利從業人員廣為接觸乙書為王如意等_[7]於民國 74 年所出版之「應用水文學」，此二份文件在高度平衡多邊形法分析程序及原理相當接近，均僅概念性介紹，於實際運用之說明較少。而在探討高度平衡多邊形法於電子計算機上之應用中，由於高度平衡多邊形法在作圖上需經過高程中點三角網分析，因此，網格分析法難以直接運算分析，僅向量分析法方能加以運算。相關研究有鄭子璉等_[8]於民國 88 年配合數值高程資料所提出的數值模式，其中並提出兩項高度平衡多邊形的補充分析原則。

三、研究基礎

　　區域平均雨量估計一般常用以估算方法有算數平均法、徐昇多邊形法、高度平衡多邊形法、等雨量線法等，特別在暴雨或颱風期間平均雨量的估計正確與否，往往影響水庫操作及下游水位的估算，相關平均雨量估計方法經常被提出檢討。除算數平均法不需經過交集分析外，其餘各分析方法均需先分析具有多個多邊形的集合後，再與集水區邊界多邊形交集求得各區域面積。本研究中徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法均應用交集分析技術在計算加權因子上。

3.1　徐昇多邊形法

　　雨量站在空間的分佈位置並不均勻，徐昇多邊形法是估計區域平均降雨量所最常用的方法，雨量站在空間的分佈位置並不均勻，以經由決定各雨量站之影響控制面積方式，調整估計區域的平均降雨。一座雨量站在集水區內的影響控制面積對全區面積之比例，是為該測站的加權因子，可用以計算集水區的平均降雨量，而各雨量站所控制面積範圍，概念上為該範圍內之任一點，對該雨量站與其他所有之雨量站之距離最短。

3.2　高度平衡多邊形法

　　高度平衡多邊形法多用於地勢崎嶇、山嶺險阻之區域，各雨量站除經過加權分配，且加以高程之修正。其法為先標明各水文站之標高，然後連接相鄰兩站，取其標高之中點處，該標高之中點處不一定為該兩站連接線之中點。再連接各標高中點成甚多個三角形，再做各三角形之內角等分線，交於各三角形之內心。連接各內心可圍住一雨量站，此面積即為該雨量站之標高及所控制之面積，適合地形崎嶇多變之地區，惟其應用手續繁瑣費時。

　　在高度平衡多邊形法中以高程加權雨量站所分配之控制權重，一般認為徐昇多邊形法僅考慮二維平面權值分配，若在地形崎嶇多變之地區，應用高度平衡多邊形法會較徐昇多邊形法為佳。

四、分析方法

　　徐昇多邊形法在分析上依序求得三角網、徐昇多邊形網、交集多邊形網與徐昇加權因子；高度平衡多邊形法在分析上依序求得三角網、高程中點三角網、高度平衡多邊形網、交集多邊形網與高度平衡加權因子；由先前相關研究中均有提及詳細分析方法及步驟，本文不再贅述。

五、應用實例

　　研究中以曾文水庫集水區為研究對象，選取歷年颱風降雨、豪暴雨及梅雨共 17 場分析；曾文水庫集水區集水面積為 481.16 平方公里，集水區內外目前共設有九個雨量觀測站，包括曾文新村、水山、樂野、里佳、表湖、馬頭山，民國 76 年以後增設龍美、三角南山及大棟山，為求能較精確的分析，各電傳雨量站之座標均以全球衛星定位系統檢核_[9]，並以新座標資料進行多邊形網的分析。集水區出流量採曾文水庫入流量；又曾文水庫集水區高程變化由 170 公尺 ~ 2,500 公尺，地形走勢變化十分劇烈，考量空間降雨的不均勻性，將曾文水庫集水區依概估之集流時間及高程 1,350 公尺以地理資訊系統分為上、中、下游，如圖 1 ，並分別探討各區之平均降雨、逕流係數與降雨的空間分佈。

六、結果與討論

6.1　分析結果

　　圖 2 為模式計算分析成果圖形畫面展示，圖面展示了分析完成之三角網、高程中點三角網、徐昇多邊形網、高度平衡多邊形網及與交集多邊形網，以 Pentium II 300 計算此案例約各需 9 秒 (雨量站 9 站，流域邊界多邊形 688 點) ，圖 3 為加權因子輸出表之螢幕展示畫面，圖 3 表格中交集面積欄之單位為平方公尺。

　　就模式計算之時效性來說，純就人工圖紙作業，約各需三到七個工作天，若以本模式計算與操作，包含流域多邊形及雨量站位置數化與模式分析計算，整體作業可在 15 分鍾內操作完成。所運用的編譯器為 Visual Basic 5.0 中文專業版，分析模組可在一般慣用之 32 位元之視窗環境系統上執行 (Win32) 。

　　表 1 為徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法在歷史雨量下所計算得之平均降雨，其中全區代表曾文水庫集水區，下游為圖 1 中水庫大壩至新美附近之區域，中游為圖 1 中新美附近至高程 1,350 公尺以下之區域，上游為圖 1 中高程 1,350 公尺以上之區域。

6.2　研究討論

（一）降雨特性與比較

　　就各電傳雨量站歷史觀測資料而言，曾文水庫集水區雨量隨高程增加而增加，歷年降雨量累計之降雨重心在里佳與馬頭山，由表 1 可以概知，徐昇平均雨量較高度平衡平均雨量為大，中游區域平均雨量較高；以逐時高度平衡平均雨量與逐時徐昇平均雨量進行迴歸，得表 2 之係數，其中民國 76 年前僅有 6 站電傳雨量站，以 6 站所得係數計算平均雨量；在表 2 中斜率均小於 1 ，亦與表 1 徐昇平均雨量較高度平衡平均雨量為大的概論相同。

　　在下游地勢平緩的地區，徐昇平均雨量與高度平衡平均雨量迴歸結果相當接近，示如圖 4 ，而中游及上游地區徐昇平均雨量與高度平衡平均雨量相關性較差，特別是民國 76 年以前僅有 6 站電傳雨量站的時候，高度平衡平均雨量平均為徐昇平均雨量九成以下，如圖 5 ，在中游地區高度平衡平均雨量與徐昇平均雨量之比例為 0.83 ，且相關性較差，由表 1 中可知，中游地區為歷年平均總降雨量的降雨重心，此誤差影響降雨逕流模式推估較大。

（二）徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法比較

　　徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法計算分析圖如圖 6 ，加權因子如表 3 ，徐昇多邊形法僅考慮二維平面的控制面積，在做圖處理亦以徐昇多邊形法較為單純，高度平衡多邊形法需參考雨量站連線剖面之資料，再據以分析，在作圖結果中可以看出，高度平衡多邊形網受集水區邊界高程影響，在集水區邊界上的雨量站有較大的控制範圍，徐昇多邊形網則無此影響。由於計算方法不同，對於 9 站電傳雨量站均選取分析的狀況來說，徐昇加權因子與高度平衡加權因子或有增減，全區與下游分析結果趨近一致，中、上游則在里佳、表湖加權因子相差在 10 % 左右；對於民國 76 年以前 6 站電傳雨量站均選取分析的狀況來說，全區在里佳相差 13 % ，表湖、馬頭山相差 5 % ，下游分析結果趨近一致，中游在里佳相差 22 % ，表湖相差 9 % ，馬頭山相差 14 % ，上游在里佳相差 18 % ，表湖相差 11 % 。平均來說，里佳高度平衡加權因子較徐昇加權因子為小，而歷年降雨資料統計結果中，里佳為曾文水庫集水區之降雨重心，由此可以確認徐昇平均雨量較高度平衡平均雨量為大之成因。

　　對於接近線性分布的雨量站網，如案例 1 、 2 中曾文新村、樂野、馬頭山及龍美所構成之雨量站網，徐昇多邊形法分析結果為接近平行分布之分割，高度平衡多邊形法分析結果則為接近T 形分布之分割，徐昇加權因子尚維持均勻分配，高度平衡加權因子則在線性站網兩端端點雨量站佔大部分之權重，若雨量站網接近ㄩ或ㄇ字型分布，如案例 3 、 4 ，則亦會使高度平衡加權因子在站網兩端端點雨量站佔大部分之權重，由圖 6 中，站網兩端端點雨量站在高度平衡多邊形法僅會有一條分割線經過，徐昇多邊形法則會由數條分割線經過，徐昇多邊形法在加權因子分配較合理，如表 3各計算案例中，曾文新村徐昇加權因子介於 2 % ~ 7 % ，曾文新村高度平衡加權因子介於 37 % ~ 52 %，曾文新村加權因子相差達 5 ~ 21 倍。

　　若將ㄩ或ㄇ字型分布的雨量站網視為凹形分布的雨量站網的正反集合，線性分布的雨量站網視為凹形分布的退化雨量站網，則可推知，高度平衡多邊形法受雨量站網分布位置影響頗大，在運用此法分析流域平均降雨量時應盡量納入所有可分析之雨量站進行分析，以提高平均降雨量計算之精度，當雨量站網成凹形分布的狀況下，應避免以高度平衡多邊形法計算平均雨量。

（三）匯入與匯出至 ArcView_[10]

　　在現有運用地理資訊系統分析中，常會因圖檔格式眾多，且不同軟體彼此之間圖檔格式互不相容，而造成應用上的困擾，因此本研究中所發展的分析模式除可使用自行定義的 ASCII 純文字格式，亦支援 ArcView 的 Shape File 格式，數值計算模式可直接匯入 ArcView 的圖檔，如圖 7 匯入曾文水庫集水區上、中、下游分區圖，計算完成之圖形可匯出為 ArcView 的圖檔，供其他分析使用，如圖 8 ，經此處理後，可使分析結果之應用更加多樣化，此外，本研究中所發展的分析模式亦可直接匯出視窗加強型向量檔 (Enhanced Metafile, EMF) ，此部份較 ArcView 匯出之 EMF 檔案技術穩定，適合配合文章及簡報檔之製作，不似 ArcView 會有圖檔邊緣顯示不完全的情況。

七、結論與建議

7.1　結論

1. 本研究中僅對徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法應用於曾文水庫集水區之結果加以比較，並不特別指出哪種平均降雨量計算方法較佳，由於無法得知集水區平均雨量之「真值」，所以若要比較，應間接透過水庫觀測之降雨逕流過程與計算平均雨量相關性加以探討，降雨逕流模式繁多，本研究尚未深入探討此部份；另常採用等雨量線法之平均雨量亦為外插所得，並非平均雨量之「真值」，因此研究中認為尚無足夠之數據以評鑑本研究比較之兩種平均雨量之方法。
2. 高度平衡多邊形法受集水區邊界高程影響，在集水區邊界上的雨量站有較大的控制範圍，徐昇多邊形法僅考慮二維平面的控制面積，故無此影響。
3. 高度平衡多邊形法受雨量站網分布位置影響頗大，在運用此法分析流域平均降雨量時應盡量納入所有可分析之雨量站進行分析，以提高平均降雨量計算之精度，當雨量站網成凹形分布的狀況下，應避免以高度平衡多邊形法計算平均雨量。
4. 曾文水庫集水區歷年降雨量累計之降雨重心在里佳與馬頭山，因此不論在徐昇多邊形法或是高度平衡多邊形法均有中游地區平均雨量較大的結果，里佳站之高度平衡加權因子小於徐昇加權因子，導致高度平衡平均雨量小於徐昇平均雨量。
5. 本研究成果支援現有 ArcView 圖檔格式，可直接運用現有圖檔進行分析，降低數化所需成本，並可提供分析結果供地理資訊系統軟體運用。

7.2　建議

1. 未來應間接透過水庫觀測之降雨逕流過程與計算平均雨量相關性詳加探討，以評鑑本研究比較之兩種平均雨量之計算方法之適用性。
2. 在曾文水庫集水區中，可考慮於里佳與馬頭山間增加雨量觀測設施，以期掌握集水區雨量重心的狀況。
3. 曾文水庫集水區之電傳雨量站建設時以無線電通聯為設置依據，多設置於山勢稜線上，應詳加探討稜線的觀測降雨與集水區降雨之關聯，以輔助評鑑本研究之兩種平均雨量之計算方法。
4. 可再增加支援現有地理資訊系統軟體圖檔格式，使應用操作上更為便捷。

謝誌

　　在本研究期間，承蒙曾文水庫管理中心洪燈河先生協助，以全球定位系統針對計算案例之雨量站進行座標位置校正，中央大學太空及遙測中心饒見有研究員提供 DTM 圖檔格式資料，仲琦科技總公司林開輝先生及高雄分公司彭美香小姐、蔡培元先生提供 ArcView 圖檔格式資料，謹致謝意。

參考文獻

1. 周乃昉、鄭子璉，「徐昇多邊形網的自動化計算」，八十四年電子計算機於土木水利工程應用論文研討會論文集，臺灣，中壢，第 465 - 476 頁，民國 84 年 10 月。
2. 鄭子璉、周乃昉，「多邊形交集分析在徐昇加權因子計算之探討」，第十屆水利工程研討會論文集，臺灣，台中，第 I39 - I46 頁，民國 88 年 7 月。
3. 鄭子璉、周乃昉，「徐昇多邊形網法之數值計算」，台灣水利，第四十八卷，第三期，臺灣，台北，第 43 - 51 頁，民國 89 年 9 月。
4. 謝錦志、楊舒雲，「格網近似在徐昇多邊形法之應用」，台灣水利，第四十八卷，第二期，臺灣，台北，第 56 - 60 頁，民國 89 年 6 月。
5. 龔誠山、王育民、徐福盛、楊博仁，「自動化徐昇多邊形網之研究」，第十一屆水利工程研討會論文集，臺灣，台北，第 L1 - L6 頁，民國 89 年 7 月。
6. 徐世大、朱紹鎔、雷萬清，「實用水文學」，六版，東華書局，臺灣，台北，第 247 - 250 頁，民國 65 年 2 月。
7. 王如意、易任，「應用水文學新編上冊」，國立編譯館，臺灣，台北，第 83 - 84 頁，民國 80 年 1 月。
8. 鄭子璉、周乃昉、胡文盛，「高度平衡多邊形法之數值計算」， 1999 中華地理資訊學會學術研討會摘要集，臺灣，台中，第 2 頁，民國 88 年 12 月。
9. 成大水利海洋研究發展文教基金會，「曾文水庫洪水預報及防洪運轉資訊系統改善研究（一）」，台灣省南區水資源局，臺灣，台南，第 5 - 34 頁，民國 88 年 5 月。
10. ESRI, "ESRI Shapefile Technical Description - An ESRI White Paper", July 1998.

註釋

　　為尊重智慧財產權，特將本文所提及之各項軟體、商標及所屬公司名稱列出，以示尊重。列出說明如下：

1. Visual BASIC 為 Microsoft 公司產品。
2. ArcView 、 Spatial Analyst 為 Environmental Systems Research Institute Inc. (ESRI) 公司產品。

　　本研究成果所發展之「徐昇網自動分析」模式可於網際網路上自由下載，網頁位置為：

http://feitsui.hyd.ncku.edu.tw/TLCheng/Thiessen/

表 1　歷年暴雨事件

表 2　迴歸分析係數與相關係數

表 3　徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法加權因子的比較

圖 1　曾文水庫集水區流域及分區邊界圖

(a)　徐昇多邊形法

(b)　高度平衡多邊形法

圖 2　模式計算分析成果圖形畫面展示

(a)　徐昇多邊形法

(b)　高度平衡多邊形法

圖 3　模式計算分析成果加權因子畫面展示

圖 4　九站下游逐時平均降雨迴歸

圖 5　六站中游逐時平均降雨迴歸

圖 6　徐昇多邊形法與高度平衡多邊形法比較

圖 7　匯入ArcView圖檔

圖 8　利用ArcView展示畫面